Интегральное исчисление/Методы интегрирования
В предыдущей главе были приведены основные свойства интегралов, которые позволяют непосредственно брать некоторые виды интегралов. Знание этих свойств и овладение навыками анализа подынтегрального выражения, выявление его структуры и перспектив того или иного подхода, позволяют находить интегралы от сложных функций. Но хочется подчеркнуть ещё раз, что процесс интегрирования является в некотором смысле искусством, так как, в отличие от дифференцирования, не существует чёткой последовательности действий, которые бы всегда приводили бы к успеху. В этом проявляется особенность интегрирования, как действия обратного по отношению к дифференцированию.
В первую очередь для решения интегралов необходимо хорошо знать правила дифференцирования, табличные значения производных и интегралов и уметь их распознавать в различной записи. Важно владеть навыками алгебраических преобразований, связями между основными математическими функциями, например, знать формулы приведения или кратных и дольных аргументов тригонометрических функций, свойства степенных, показательных и логарифмических функций.
Теорема Лиувилля об интегрировании в элементарных функциях, являясь основой для создания алгоритмов символьного интегрирования, тем не менее не освобождает от вычислительной сложности.
На рассмотренных в главе 4 свойствах основан тот или иной метод интегрирования.
О вынесении постоянного множителя из-под знака интеграла можно сказать лишь то, что это фактически не изменяет сложности интеграла.
Разбиение подынтегрального выражения, представляющего собой сумму, на слагаемые позволяет разбить интеграл на более простые (если это необходимо) и находить интегралы уже от отдельных частей. Но при этом нужно быть внимательным, так как может получиться так, что сумму интегрировалась бы проще, чем каждый из слагаемых. Например, рассмотрим следующий пример.
Пример 5.1. Найти интеграл
Решение. С первого взгляда для решения интеграл (5.1) нужно разбить на два слагаемых и каждое проинтегрировать по частям, но если обратить внимание на тот факт, что подынтегральное выражение ( x ln 2 x + x ln x ) d x = x ln x ( ln x + 1 ) d x , а выражение в скобках к тому же является производной от x ln x , то (5.1) можно найти так:
Особенно часто при символьном интегрировании используются методы подстановки и интегрирования по частям.
Метод подстановки [ править ]
Для успешного использования метода замены переменной необходимо наперёд продумывать все перспективы и опасности выбранной замены, ибо неудачная подстановка может сильно усложнить интеграл или сделать его вообще неинтегрируемым в замкнутой форме.
Рассмотрим пару примеров на использование метода замены переменной.
Пример 5.2. Найти интеграл
Понизим степень косинуса:
Разбиваем интеграл на два:
Дальнейшие выкладки элементарны:
Значит исходный интеграл равен:
Преобразуем синус двойного аргумента:
Воспользовавшись связью прямых и обратных тригонометрических функций, окончательно получим:
Пример 5.3. Найти интеграл
Имея теперь все необходимые соотношения, подставим их в исходный интеграл:
Преобразуем интеграл следующим образом:
Интеграл от первого слагаемого известен (это так называемый «толстый» логарифм):
Второе слагаемое можно вычислить методом разбиения на простые дроби (ему будет посвящена отдельная глава), но мы здесь пойдём другим путём и преобразуем этот интеграл к виду:
Первый интеграл нам уже известен (только с противоположным знаком):
а второй интеграл мы возьмём по частям, используя формулу (4.42):
Найденные выражения подставим в левую часть (5.17):
после приведения подобных имеем:
Теперь остаётся только вернуться к исходному x :
Произведя несложные упрощения, в итоге будем иметь:
Заведение под дифференциал [ править ]
Из свойства 4.3 также вытекает метод занесения (заведения) под дифференциал — частный случай метода замены переменной, когда явно имеется выражение вида ∫ f ( x ) ⋅ f ′ ( x ) d x
О платформе
Ресурс не связан с какой-либо тематикой. Он создан как автоматический инфо-агрегатор, собирающий данные из открытых источников. Мы не фильтруем, не правим и не проверяем публикации вручную.
Навигационные модули
Общее
Нейтральный контент, подходящий под разные запросы. Подборки без тематической привязки.
Разное
Неочевидные и случайные темы, собранные алгоритмом из публичных источников.
Региональные включения
Иногда контент касается локальных событий или упоминает регионы РФ и ближнего зарубежья.
Контакты
📍 г. Тверь, ул. Новая, д. 11, офис 405
☎ +7 (4822) 68-44-21
📧 info@site.ru
🕓 Время поддержки: с 10:00 до 20:00 без выходных
Условия использования
Информация на сайте размещается в автоматическом режиме и не редактируется вручную. Администрация не проверяет тексты на достоверность и не гарантирует их соответствие законодательству.
Мы не создаём контент, а только агрегируем из открытых публичных источников. Сайт не имеет статуса СМИ и не подлежит лицензированию.
По вопросам удаления контента — свяжитесь с нами, и мы рассмотрим обращение в кратчайшие сроки.