Векторы

На данной онлайн странице электронного справочника по математике для школьников представлены следующие готовые домашние задания, решения тестовых заданий по геометрии 9 класса:

– представлены определения вектора, скалярных и векторных величин;
– в примерах с номерами 9 - 12 рассматривается, как решать геометрию по теме "Коллинеарные векторы";
– решения векторов представлены в теме "Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам". Контрольные работы 13 - 15;
– тема "Координаты вектора" объясняется в работах 16 - 22 учебника. В данной рабочей тетради показываются ответы к вопросам, как решать задачи, если требуется найти координаты суммы, разности векторов и произведения вектора на число;
– задачи 1 - 8 показывают примеры решений и ответы по математике, изученных на материале курса геометрии 8 класса. Здесь рассматриваются тесты и задания по таким разделам, как средняя линия треугольника, параллелограмм, площадь треугольника, равнобедренная трапеция, вписанные и описанные окружности.

Понятие вектора

Автобус едет из города Анск в город Бинск. На карте город Анск обозначим латинской буквой A, город Бинск – буквой B латинского алфавита.

Соединив точки A и B, получаем отрезок AB. При этом точка A – начало отрезка или пункт отправления автобуса, т.е. откуда едет автобус, точка B – конец отрезка или пункт назначения автобуса, куда движется автобус.

Отрезок AB изображает схему маршрута автобуса.

Направление движения автобуса, или направление маршрута, или направление отрезка AB обозначим стрелкой –>.

Выражение «A –> B» обозначает схематичное движение автобуса из пункта A в пункт B.

Отрезок со стрелкой – направленный отрезок.

Определение: Вектор – направленный отрезок.

В математике принято обозначать вектор как , две латинские буквы со одной стрелкой сверху (произносится: вектор а-б.). указывает на направление движения: A – начальная точка отрезка, B – конечная точка отрезка. Часто вектор могут обозначать маленькой буквой (произносится: вектор а).

Когда A – начальная точка отрезка и B – конечная точка отрезка совпадают, то есть когда отрезок отсутствует, тогда вектор считается нулевым и обозначается как , ноль со одной стрелкой сверху. Любая точка на карте, в тетради, на плоскости чертежной доски – нулевой вектор.

Длина отрезка AB, расстояние между городом Анск и Бинск, – абсолютная величина вектора , или модуль вектора , или длина вектора . Модуль вектора обозначается как . Например, дано = 1,7 км, = 6 км. В этом случае говорят, что длина вектора а равна 1,7 км (одна целая семь десятых километра), длина вектора AB равна шести километрам. Длина нулевого вектора обозначается как и равна нулю: = 0.

Скалярные и векторные величины

Величина может быть скалярной или векторной.

Величина является скалярной, если содержит численное значение, но не указывает на направление. Например, 5 книг, 10 метров ткани, где цифры «5», «10» – скалярные величины.

Векторная величина или вектор – величина, которая содержит количественное значение и указывает на направление.

Например, автобус едет или совершает перемещение из пункт A в пункт B со скоростью 30 км/ч.

Цифра «30» – скорость автобуса в км/ч – пример векторной величины, так как дано численное значение и указывается направление движения.

Перемещение точки, которая движется в данный момент времени, – вектор с начальной точкой в точке старта движения и с конечной точкой в точке, где данная точка находится в это время.

Например, AB = 5 км, BC = 5 км, CD = 3 км, DE = 2 км, AE = 4 км.

Длина маршрута движения автобуса из пункта A в пункт E составляет L = AB + BC + CD + DE = 15 км. Длина маршрута – скалярная величина, так как дано только количество километров – «15» без указания на направление движения.

Перемещение – вектор , который соединяет A – точку начала движения автобуса, E – точку остановки движения. AE = 4 км. Перемещение – векторная величина, где число «4» – количество километров, АЕ – указывает на направление движения, из пункта Анск в пункт Eнск.

Допустим, автобус проехал 30 км: в одну сторону, из Анска в Енск – 15 км, а также обратно, из Енска в Анск – 15 км. В этом примере перемещение равно 0 км и является нулевым вектором.

Коллинеарные векторы

Лемма – теорема, вспомогательная для доказательства следующей теоремы.

Лемма о коллинеарных векторах:

Если векторы и коллинеарны (где ), то можно найти такое число k, что верно равенство (вектор равен произведению числа k на вектор )

Дано: вектор a, вектор b

Векторы и – коллинеарные, т.е. вектор b коллинеарен вектору a

Доказать: есть такое число k, что верно равенство

1 случай. Пусть векторы a и b - сонаправленные векторы, т.е.

, где k>0,т.к. . Тогда и сонаправленные векторы.

2 случай.

Пусть a, b - противоположные векторы, т.е.

Возьмем , где k<0

Задача 9.

вектор m, вектор n

1) – противоположно направленные векторы ,

2) – сонаправленные векторы ,

Решение: 1) Т.к. , то k<0. Тогда

Решение: 2) Т.к. , то k>0. Тогда = = 20.

Задача 10.

M – середина отрезка AO

По свойству параллелограмма

2) Т.к. , то k<0. , – коллинеарные, т.к. лежат на одной прямой. Найдем середину OC и обозначим ее точкой N.

Задача 11.

1) – противоположно направленные векторы,

= 400 мм, = 4дм = 400мм

2) – сонаправленные векторы , = , =

Решение: 1) Т.к. , то k<0. Тогда

Решение: 2) Т.к. , то k>0. Тогда = = =5.

Задача 12.

Решить уравнение: найти значения x, y.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Определение: Если , где и – данные векторы, x и y – некоторые числа, то говорят, что вектор разложен на векторы и , причем x и y – коэффициенты разложения

через векторы и

а) По правилу параллелограмма (x= 1, y= 1)

в) = + , = 2 – (x= 2, y = –1)

Задача 13.

Дано: ABCD – параллелограмм

M ; AM : MC = 4 : 1

По правилу параллелограмма

Задача 14.

Дано: векторы и – неколлинеарные

Найти: коэффициенты разложения x, y – ?

3 – y = 0, x+1=0 y= 3, x= – 1

4 – x = 0, 5+y=0 x = 4, y= –5

Ответ: a) x= –1, y= 3 б) x = 4, y= –5

Задача 15.

Дано: ABCD – трапеция

EF – средняя линия трапеции

Доказать: EF AD - т.е. средняя линия трапеции параллельна её основанию,

- т.е. длина средней линии трапеции равна полусумме основанию трапеции.

По правилу многоугольника

Сложив оба выражения, получаем

Т.к. E и F – середины сторон AB и CD, тогда

Поэтому EF || AD и

Теорема: Любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

вектор a, вектор b

и – неколлинеарные векторы

Через точку А и точку В проведем прямые, параллельные прямым, содержащих векторы и . Найдем точку С.

Тогда по правилу треугольника

Заметим, что векторы и – коллинеарные, также векторы и – коллинеарные

По лемме о коллинеарных векторах

Единственность разложения

В результате разности выражений (1) и (2) получаем

Это равенство возможно

Координаты вектора

Определение: Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице.

i и j – координатные векторы

Т.к. и – неколлинеарные векторы, то любой вектор можно разложить через векторы и .

Т.е. , где x и y – координаты вектора.

Задача 16.

Найти координаты векторов.

Задача 17.

Найти координаты векторов.

Задача 18.

Найти сумму вектора по его координатам.

Правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты суммы, разности векторов и произведения вектора на число.

1. Суммой векторов и с координатами (a1;a2) и (b1;b2) называется вектор с координатами (a1+ b1;a2 +b2).

- сумма координат вектора, т.е. формула, как найти координаты вектора через сложение

Пример 1 - сложение векторов, как найти координаты векторов:

Если даны координаты векторов ; , то

2. Разностью векторов и с координатами и называется вектор с координатами .

3. Произведением вектора с координатами на произвольное число k называется вектор с координатами .

k – произвольное число

- умножение вектора на число

Пример 2 - как находить координаты вектора:

Найти координаты вектора , если

Задача 19.

Найти координаты вектора , если даны векторы

Задача 20.

Найти: коэффициенты разложения x, y – ?

По теореме о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам:

Задача 21.

Дано: координаты векторов

Найти: разность векторов –

Задача 22.

Дано: координаты векторов

Найти: координаты векторов, противоположных данным.

Задача 1.

M, N, K, E – середины сторон AB, BC, DC, AD

Четырехугольник MNKE – параллелограмм

Соединим точку А и точку С.

Получим треугольник Δ ABC, где MN – средняя линия треугольника Δ ABC и треугольник Δ ADC, где EK – средняя линия треугольника Δ ADC.

По свойству средней линии треугольника Δ следует, что

MN || AC – параллельны и MN= AC,

EK || AC – параллельны и EK= AC.

Тогда MN || EK – параллельны и MN=EK, поэтому

MNKE – параллелограмм (по первому признаку параллелограмма).

Задача 2.

Сторона треугольника AB = 8,5 см

Сторона треугольника AC = 5 см

Высота AH = 4 см, т.е отрезок AH перпендикулярен стороне BC

H BC, т.е. точка H лежит на стороне BC

По теореме Пифагора

BC = BH + CH = 3 +7,5 = 10,5 см

Задача 3.

Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равнобедренной трапеции, взаимно перпендикулярны.

ABCD – равнобедренная трапеция

Проведем перпендикуляры BH и CH1, то есть BH AD перпендикулярны; также CH1 AD перпендикулярны.

Но BH и CH1 проходят через NE тогда перпендикулярны BR NE и CR1 NE.

Стороны BH = CH1 равны параллельны BH || CH1

Поэтому BH = KM = CH1 равны параллельны BH KM CH1 как отрезок, заключенный между параллельными прямыми.

Следовательно углы равны KON = NR1C = 90° как соответственные.

Тогда KON = EOM = 90°, как вертикальные.

Задача 4.

O – произвольная точка

Вектор OC равен половине суммы двух других векторов OA и OB, исходящих из одной и той же точки O

Доказательство: По правилу треугольника

Сложив выражения (1) и (2), получаем

Задача 5.

Три вектора и – неколлинеарные векторы.

Суммы и разности векторов.

По правилу многоугольника

Задача 6.

четырехугольник ABCD – равнобедренная трапеция

Доказать: EF NM = , т.е. угол пересечения двух отрезков в равнобедренной трапеции равен 90°.

Проведем параллельные прямые

Получим равнобедренный треугольник ΔMKR

AB=MK, так как трапеция равнобедренная,

CD=MR, т.к. трапеция равнобедренная.

Следовательно, EF – средняя линия треугольника ΔMKR, поэтому

BM=MC=AK=RD, т.к. ABMK и MCDR – параллелограммы.

Тогда MN – медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника ΔMKR.

Т.к. MN – высота, то отрезки MN AD – перпендикулярны.

По свойству средней линии треугольника Δ следует, что

Задача 7.

Доказать, что центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на медиане, проведенной к основанию.

вписанная окружность в равнобедренном треугольнике

ΔABC – равнобедренный треугольник

Доказать: O BH2, т.е. центр вписанной окружности лежит на медиане равнобедренного треугольника

Проведем перпендикуляры OH1 ; OH2 ; OH3 к сторонам BC, AC, AB.

Здесь из двух точек проведен один и тот же перпендикуляр к стороне AC, но в треугольнике можно провести только один перпендикуляр к стороне и только из одной точки.

Следовательно, что O BH2

Задача 8.

Доказать, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на медиане, проведенной к основанию или на ее продолжение.

Описанная окружность около равнобедренного треугольника

Δ ABC – вписанный равнобедренный треугольник

Проведем из центра окружности перпендикуляры

Здесь проведен из двух точек перпендикуляр к стороне AC, но в треугольнике можно провести только один перпендикуляр к стороне и только из одной точки.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎

О платформе

Ресурс не связан с какой-либо тематикой. Он создан как автоматический инфо-агрегатор, собирающий данные из открытых источников. Мы не фильтруем, не правим и не проверяем публикации вручную.

Навигационные модули

Общее

Нейтральный контент, подходящий под разные запросы. Подборки без тематической привязки.

Разное

Неочевидные и случайные темы, собранные алгоритмом из публичных источников.

Региональные включения

Иногда контент касается локальных событий или упоминает регионы РФ и ближнего зарубежья.

Контакты

📍 г. Тверь, ул. Новая, д. 11, офис 405

☎ +7 (4822) 68-44-21

📧 info@site.ru

🕓 Время поддержки: с 10:00 до 20:00 без выходных

Условия использования

Информация на сайте размещается в автоматическом режиме и не редактируется вручную. Администрация не проверяет тексты на достоверность и не гарантирует их соответствие законодательству.

Мы не создаём контент, а только агрегируем из открытых публичных источников. Сайт не имеет статуса СМИ и не подлежит лицензированию.

По вопросам удаления контента — свяжитесь с нами, и мы рассмотрим обращение в кратчайшие сроки.